Разное

Многоугольник самый большой: Многоугольник — Википедия. Что такое Многоугольник

14.06.2020
Многоугольник — Википедия. Что такое Многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тринадцатиугольник
Regular tridecagon.svg

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости ограниченная замкнутой ломаной.

Содержание

Варианты определений

Regular tridecagon.svg Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности

  • Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
  • Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
  • Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
  • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
  • Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

  • Сумма внутренних углов плоского

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника без самопересечений равна

    (
    n

    2
    )

    180

    {\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}

    .

  • Число диагоналей всякого

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника равно

    n

    (
    n

    3
    )

    2

    {\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}

    .

Площадь

  • Пусть

    {
    (

    X

    i

    ,

    Y

    i

    )
    }
    ,
    i
    =
    1
    ,
    2
    ,
    .
    .
    .
    ,
    n

    {\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n}

     — последовательность координат соседних друг другу вершин

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S
=

1
2

|

i
=
1

n

(

X

i

+

X

i
+
1

)
(

Y

i

Y

i
+
1

)

|

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}

, где

(

X

n
+
1

,

Y

n
+
1

)
=
(

X

1

,

Y

1

)

{\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}

.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура

F

{\displaystyle F}

называется квадрируемой, если для любого

ε
>
0

{\displaystyle \varepsilon >0}

существует пара многоугольников

P

{\displaystyle P}

и

Q

{\displaystyle Q}

, такие что

P

F

Q

{\displaystyle P\subset F\subset Q}

и

S
(
Q
)

S
(
P
)
<
ε

{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }

, где

S
(
P
)

{\displaystyle S(P)}

обозначает площадь

P

{\displaystyle P}

.

Вариации и обобщения

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.
⛭
Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники
и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}

Многоугольники. Подробная теория с примерами.

Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.




Многоугольник (n-угольник)

  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

Многоугольники рис. 1

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:




Многоугольники рис. 2 В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна  , где буква « » означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник




Четырехугольник  

Пятиугольник




Пятиугольник  

Шестиугольник




Шестиугольник  

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник




Треугольник  

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула  . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:




диагонали в многоугольнике Всего вершин:  

Из вершины   можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины  
  • Вершины  
  • Вершины  

Значит всего диагоналей  . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на  . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно   треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно  .

Ну вот,   треугольника, в каждом по  , значит:




Сумма углов многоугольника равна   

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был  -угольник:




10-угольник Его сумма углов  . Провели диагональ, скажем  :

Получился пятиугольник   и семиугольник  . Сумма углов   равна  , а сумма углов   равна  . А вместе :   — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Правильные многоугольники




Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:




Правильный многоугольник Сумма всех его углов равна  . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем   можно найти:

 .

Что мы еще должны знать?




Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на  . В нем  

Значит,   — и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае  ?

Ровно половине  , представь себе!

Значит  . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника  .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки  ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти   (то есть  ).

Мы знаем, что в   сумма углов равна  . Значит:

 

Потому  

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.




Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Например: многоугольник c   сторонами называют четырехугольником, многоугольник с   сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.




Четырехугольник

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность
Шестиугольник

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность




Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

  • Выпуклый многоугольник — многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна   или  , где   — внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного  -угольника равен  .




Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

  • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой:  , где  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

 

 

 

Многоугольник — определение и основные понятия, виды и свойства фигур

Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.

Многоугольники

Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон, по количеству которых получают свои названия многоугольники.

Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков — четырехугольником, из пяти — пятиугольником и пр.

Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку — по часовой стрелке или против нее.

Плоский многоугольник

Основные понятия

Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:

  1. Если вершины являются концами одной стороны, они называются соседними.
  2. Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, то он имеет название диагонали. У треугольника не может быть диагоналей.
  3. Внутренний угол — это угол при одной из вершин, который образован двумя его сторонами, сходящимися в этой точке. Он всегда располагается во внутренней области геометрической фигуры. Если многоугольник невыпуклый, его размер может превосходить 180 градусов.
  4. Внешний угол при определенной вершине — это угол смежный с внутренним при ней же. Иными словами, внешним углом можно считать разность между 180° и величиной внутреннего угла.
  5. Сумма величин всех отрезков носит название периметра.
  6. Если все стороны и все углы равны — он носит название правильного. Правильными могут быть только выпуклые.

Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:

  1. Многоугольник называется плоским, если ограничивает конечную часть плоскости. Эта геометрическая фигура может быть вписанной в окружность или описанной вокруг окружности.
  2. Выпуклым называется n-угольник, который соответствует одному из условий, приведенных ниже.
  3. Фигура расположена по одну сторону от прямой линии, которая соединяет две соседних вершины.
  4. Эта фигура служит общей частью или пересечением нескольких полуплоскостей.
  5. Диагонали располагаются внутри многоугольника.
  6. Если концы отрезка располагаются в точках, которые принадлежат многоугольнику, весь отрезок принадлежит ему.
  7. Фигура может называться правильной, если у нее все отрезки и все углы равны. Примерами могут служить квадрат, равносторонний треугольник или правильный пятиугольник.
  8. Если n-угольник невыпуклый, все стороны и углы его равны, а вершины совпали с таковыми правильного n-угольника, он называется звездчатым. У таких фигур могут иметься самопересечения. Примерами могут служить пентаграмма или гексаграмма.
  9. Треугольник или четырехугольник называется вписанным в окружность, когда все его вершины располагаются внутри одной окружности. Если же стороны этой фигуры имеют точки соприкосновения с окружностью, это многоугольник описанным около некоторой окружности.

Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.

Выпуклый многоугольник

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

  1. Равносторонние — у которых длина всех отрезков одинаковая.
  2. Равнобедренные — треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
  3. Разносторонние — если длина всех отрезков разная.

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

  1. Остроугольные.
  2. Прямоугольные.
  3. Тупоугольные.

Треугольник

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

  1. Если все углы четырехугольника прямые — эта фигура называется прямоугольником.
  2. Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
  3. Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Видео

Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.

Многоугольник — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тринадцатиугольник
Regular tridecagon.svg

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости ограниченная замкнутой ломаной.

Варианты определений

Regular tridecagon.svg Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности

  • Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
  • Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
  • Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
  • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
  • Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

  • Сумма внутренних углов плоского

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника без самопересечений равна

    (
    n

    2
    )

    180

    {\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}

    .

  • Число диагоналей всякого

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника равно

    n

    (
    n

    3
    )

    2

    {\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}

    .

Площадь

  • Пусть

    {
    (

    X

    i

    ,

    Y

    i

    )
    }
    ,
    i
    =
    1
    ,
    2
    ,
    .
    .
    .
    ,
    n

    {\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n}

     — последовательность координат соседних друг другу вершин

    n

    {\displaystyle n}

    -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S
=

1
2

|

i
=
1

n

(

X

i

+

X

i
+
1

)
(

Y

i

Y

i
+
1

)

|

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}

, где

(

X

n
+
1

,

Y

n
+
1

)
=
(

X

1

,

Y

1

)

{\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}

.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура

F

{\displaystyle F}

называется квадрируемой, если для любого

ε
>
0

{\displaystyle \varepsilon >0}

существует пара многоугольников

P

{\displaystyle P}

и

Q

{\displaystyle Q}

, такие что

P

F

Q

{\displaystyle P\subset F\subset Q}

и

S
(
Q
)

S
(
P
)
<
ε

{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }

, где

S
(
P
)

{\displaystyle S(P)}

обозначает площадь

P

{\displaystyle P}

.

Вариации и обобщения

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.
⛭
Многоугольники
Звёздчатые многоугольники
Паркеты на плоскости
Правильные многогранники
и сферические паркеты
Многогранники Кеплера — Пуансо
Соты
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}

Наибольший многоугольник единичного диаметра — Википедия. Что такое Наибольший многоугольник единичного диаметра

Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами (для заданного числа n), диаметр которого равен единице (то есть любые две его точки находятся друг от друга на расстоянии, не превосходящем единицы), и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением (не уникальным) для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет.

Четырёхугольники

Площадь произвольного четырёхугольника (n = 4) вычисляется по формуле S = pq sin(θ)/2, где p и q — диагонали четырёхугольника, а θ — угол между диагоналями. Если диаметр многоугольника не превосходит единицы, и p, и q должны не превосходить 1. Таким образом, четырёхугольник имеет максимальную площадь, когда все три множителя достигают максимального возможного значения, то есть p = q = 1 и sin(θ) = 1. Условие p = q означает, что четырёхугольник равнодиагонален, а условие sin(θ) = 1 означает, что он ортодиагонален (его диагонали перпендикулярны). Среди таких четырёхугольников находится квадрат с диагоналями единичной длины, имеющий площадь ½, однако имеется бесконечно много других четырёхугольников одновременно равнодиагональных и ортодиагональных с длинами диагоналей 1, все они имеют ту же самую площадь, что и квадрат. Таким образом, решение не единственно[1].

Нечётное число сторон

Для нечётных значений n Карл Райнхардт[en] показал, что правильный многоугольник имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников единичного диаметра[2].

Чётное число сторон

Наибольший многоугольник единичного диаметра с шестью сторонами (слева). Справа правильный многоугольник с тем же диаметром, но площадь его меньше.

В случае n = 6 оптимальный многоугольник единственнен, однако он не является правильным. Решение для этого случая было опубликовано в 1975 Рональдом Грэмом в ответ на вопрос, поставленный в 1956 году Эмилием Ленцом[3]. Решение представляет собой неправильный равнодиагональный пятиугольник с треугольником, прикреплённым к одной из его сторон, и расстояние от вершины этого треугольника до противолежащей вершины пятиугольника равно длине диагоналей пятиугольника[4]. Площадь этой фигуры равна 0.674981…[5], и это число удовлетворяет уравнению:

4096 x10 +8192x9 − 3008x8 − 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 − 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 − 78488x + 11993 = 0.

Грэм высказал гипотезу, что в общем случае для чётных n решение строится аналогичным образом из правильных (n − 1)-угольников (с единичными диагоналями) с добавлением равнобедренного треугольника к одной из сторон, расстояние от вершины которого до противолежащей вершины (n − 1)-угольника равно единице. Для случая n = 8 это было проверено в 2002 году с помощью компьютера[6].
Доказательство Грэма оптимальности его шестиугольника и проверка на компьютере случая n = 8 использовали перебор вариантов всех возможных треклов с n вершинами и прямолинейными рёбрами.

Полное доказательство гипотезы Грэма для всех чётных значений n было дано в 2007 году[7].

Примечания

  1. ↑ Schäffer, 1958, с. 85–86.
  2. ↑ Reinhardt, 1922, с. 251–270.
  3. ↑ Lenz, 1956, с. 86.
  4. ↑ Graham, 1975, с. 165–170.
  5. ↑ последовательность A111969 в OEIS
  6. ↑ Audet, Hansen, Messine, Xiong, 2002, с. 46–59.
  7. ↑ Foster, Szabo, 2007, с. 1515–1525.

Литература

Ссылки

Наибольший многоугольник единичного диаметра — Карта знаний

  • Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами (для заданного числа n), диаметр которого равен единице (то есть любые две его точки находятся друг от друга на расстоянии, не превосходящем единицы), и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением (не уникальным) для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет.

Источник: Википедия

Связанные понятия

Площадь круга с радиусом r равна πr2. Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к её диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1⁄2 × 2πr × r).

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы .

Четырёхугольник (греч. τετραγωνον) — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.). Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеется в виду только простые четырёхугольники.

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Пери́метр (др.-греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина.

Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника). Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин, и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон (смотрите рисунок справа, указанные…

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками.

Окружности Мальфатти — три окружности внутри заданного треугольника, такие, что каждая окружность касается двух других и двух сторон треугольника. Окружности названы именем Джанфранческо Мальфатти, который начал исследовать задачу построения этих окружностей с ошибочным убеждением, что они в сумме дают максимальную возможную площадь трёх непересекающихся окружностей внутри треугольника. Задача Мальфатти относится к обеим задачам — как к построению окружностей Мальфатти, так и к задаче нахождения…

Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).

Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений.

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Одиннадцатиуго́льник, называемый иногда Гендекаго́н — многоугольник с одиннадцатью углами. Одиннадцатиугольником также называют всякий предмет, имеющий такую форму.

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения.

В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

Подробнее: Конциклические точки

Обобщённый многоугольник — это структура инцидентности, предложенная Жаком Титсом в 1959 году. Обобщённые n-угольники вмещают в качестве частных случаев проективные плоскости (обобщённые треугольники, n=3) и обобщённые четырёхугольники (n=4). Многие обобщённые многоугольники получаются из групп типа Ли, но существуют некоторые экзотические обобщённые многоугольники, которые таким способом не получаются. Обобщённые многоугольники, удовлетворяющие условию, известному как свойство Муфанга, полностью…

В гиперболической геометрии гиперболический треугольник является треугольником на гиперболической плоскости. Он состоит из трёх отрезков, называемых сторонами или рёбрами, и трёх точек, называемых углами или вершинами.

Диагональ (греч. διαγώνιος; от δια- «через» + γώνια «угол») — в математике имеет геометрический смысл, а также используется при наглядном описании квадратных матриц.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой.

Апейрогон (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон.

Построение выпуклой оболочки методом «разделяй и властвуй» — алгоритм построения выпуклой оболочки.

Подробнее: Алгоритм Киркпатрика

Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, предположительно, имеющая самую малую наибольшую плотность упаковки плоскости из всех центрально симметричных выпуклых фигур. Фигура получается заменой углов правильного восьмиугольника секцией гиперболы, которая касается двух сторон угла и асимптотически приближается к продолжениям сторон восьмиугольника, смежным сторонам угла.

Чевиана — это отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя. Медианы, биссектрисы и высоты в остроугольном треугольнике являются специальными случаями чевиан.

Почти многоугольник — это геометрия инцидентности, предложенная Эрнестом Е. Шультом и Артуром Янушкой в 1980. Шульт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрально замкнутыми системами прямых в евклидовых пространствах и классом геометрий точка/прямая, которые они назвали почти многоугольниками. Эти структуры обобщают нотацию обобщённых многоугольников, поскольку любой обобщённый 2n-угольник является почти 2n-угольником определённого вида. Почти многоугольники интенсивно изучались, а…

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это окружность, которая касательна каждой стороны многоугольника. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Шестиугольник — многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы.

Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. Под высотой также подразумевается длина этого отрезка.

Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Куб принца Руперта (англ. Prince Rupert’s cube) — самый большой куб, который может пройти через отверстие, вырезанное в единичном кубе (то есть через куб, рёбра которого имеют размер 1). Ребро куба Руперта приблизительно на 6 % длиннее, чем ребро куба, через который он проходит. Задача поиска такого куба тесно связана с задачей поиска самого большего квадрата, который полностью расположен в пределах единичного куба, и имеет аналогичное решение.

В математике и физике барице́нтр, или геометри́ческий центр, двумерной области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры. Определение распространяется на любой объект в n-мерном пространстве — барицентр является средним положением всех точек фигуры по всем координатным направлениям. Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

Подробнее: Барицентр

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороны которого и площадь являются рациональными числами.

Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Простой многоугольник — это фигура, состоящая из непересекающихся отрезков («сторон»), соединённых попарно с образованием замкнутого пути. Если стороны пересекаются, многоугольник не является простым. Часто слово «простой» опускается из вышеприведённого определения.

В геометрии число Хееша фигуры — это максимальное число слоёв копий той же фигуры, которые могут её окружать. Задача Хееша — это задача определения набора чисел, которые могут быть числами Хееша. И то, и другое названы именем немецкого геометра Генриха Хееша , который нашёл мозаику с числом Хееша 1 (объединение квадрата, правильного треугольника и треугольника с углами 30-60-90) и предложил более общую задачу.

В вычислительной геометрии известна задача об определении принадлежности точки многоугольнику. На плоскости даны многоугольник и точка. Требуется решить вопрос о принадлежности точки многоугольнику.

Подробнее: Задача о принадлежности точки многоугольнику

Купол можно рассматривать как призму, где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

Конфигурация вершины задаётся как последовательность чисел, представляющих число сторон граней, окружающих вершину. Обозначение «a.b.c» обозначает вершину с тремя гранями около неё и эти грани имеют a, b и c сторон (рёбер).

Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например…

Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.

Подробнее: Двадцатичетырёхъячейник

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три…

Комплексный многогранник — это обобщение многогранника в вещественном пространстве на аналогичную структуру в комплексном гильбертовом пространстве, где к каждой вещественной размерности добавляется мнимая.

В геометрии гиробифастигиум или двускатный повёрнутый бикупол является 26-м многогранником Джонсона (J26). Его можно построить объединением двух треугольных призм с правильными гранями по соответствующим квадратным граням с поворотом одной призмы на 90º . Это единственное тело Джонсона, которым можно заполнить трёхмерное пространство.

Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их…

Разбиение многоугольника — это множество примитивных элементов (например, квадратов), которые не накладываются и объединение которых равно многоугольнику. Задача о разбиении многоугольника — это задача поиска разбиения, которое в некотором смысле минимально, например, разбиение с наименьшим числом элементов или разбиение с наименьшей суммой длин сторон.

В геометрии плосконосый двуклиноид или сиамский додекаэдр — это трёхмерный выпуклый многогранник с двенадцатью правильными треугольниками в качестве граней. Многогранник не является правильным, поскольку в некоторых вершинах сходятся четыре грани, а в остальных — пять граней. Многогранник является двенадцатигранником, одним из восьми дельтаэдров (выпуклых многогранников с гранями в виде правильных треугольников) и одним из 92 многогранников Джонсона (неоднородные выпуклые многогранники с правильными…

algorithm — Самый большой круг внутри невыпуклого многоугольника

Резюме. Теоретически это можно сделать за O (n) раз. На практике вы можете сделать это за O (n log n).

Обобщенные диаграммы Вороного.

Если вы рассматриваете вершины и ребра многоугольника как набор узлов и тесселяете внутреннюю часть в «ячейки ближайших соседей», то вы получите так называемую (обобщенную) диаграмму Вороного. Диаграмма Вороного состоит из узлов и ребер, соединяющих их. просвет узла — это расстояние до его определяющих граней многоугольника.

Диаграмма Вороного многоугольника
(Здесь у многоугольника даже есть отверстия; принцип все еще работает.)

Ключевое наблюдение сейчас заключается в том, что центр максимального вписанного круга касается трех граней (вершин или ребер) многоугольника, и никакая другая грань не может быть ближе. Таким образом, центр должен находиться на узле Вороного, то есть узле с наибольшим зазором.

В приведенном выше примере узел, отмечающий центр максимального вписанного круга, касается двух ребер и вершины многоугольника.

Медиальная ось, кстати, является диаграммой Вороного с удаленными ребрами Вороного, которые исходят из рефлекторных вершин. Следовательно, центр максимальной вписанной окружности также лежит на средней оси.

Источник: моя статья в блоге это имеет дело с обобщениями максимума вписанных кругов в некоторой точке. Там вы можете найти больше о диаграммах Вороного и их связи с максимально вписанными кругами.

Алгоритмы & реализации.

Вы могли бы фактически вычислить диаграмму Вороного. Алгоритм O (n log n) для наихудшего случая для точек и отрезков дан Fortune, Алгоритм развёртки для диаграмм Вороного , SoCG’86. Провел публикацию программного пакета Vroni с ожидаемым O (n log n) временная сложность, которая фактически вычисляет также максимальный вписанный круг. И, кажется, есть реализация в boost тоже.

Для простых полигонов (т. е. без дырок) оптимальный по времени алгоритм, который выполняется за O (n) времени, обусловлен Чином и др., Поиск средней оси простого многоугольника за линейное время , 1999.

Грубая сила.

Однако, как вы заявили, что у вас все в порядке с алгоритмом грубой силы: как насчет простого опробования всех триплетов сайтов (вершин и ребер). Для каждого триплета вы найдете подходящие узлы Вороного, то есть эквидистантные локусы для трех сайтов, и проверьте, не пересекает ли какой-либо другой сайт максимально допустимый вписанный круг. Если есть пересечение, вы увольняете кандидата. Возьмите самое лучшее, что вы можете найти среди всех тройняшек.

См. главу 3 в моем магистерской диссертации , чтобы узнать больше о вычисление равноудаленных локусов для трех сайтов.

90000 Incircle of a Polygon — Math Open Reference 90001

Incircle of a Polygon — Math Open Reference

90002
Definition: The largest circle the will fit inside a polygon that touches every side
90003

90002
Try this
Adjust the regular polygon below by dragging any orange dot, or alter the number of sides. Note the behavior of the polygon’s incircle.
90003

90002
The incircle of a regular polygon is the largest circle that will fit inside the polygon and touch each side
in just one place (see figure above) and so each of the sides is a
tangent to the incircle.If the number of sides is 3, this is an
equilateral triangle and its incircle is exactly
the same as the one described in Incircle of a Triangle.
90003

90002
The inradius of a regular polygon is exactly the same as its apothem. The formulas below are the same as for the apothem.
Use the formula that uses the facts you are given to start.
90003

90010 Inradius given the length of a side 90011
By definition, all sides of a regular polygon are equal in length. If you know the length of one of the sides, the inradius is given by the formula:

90002
where 90013 90014 s 90015 is the length of any side 90013 90014 n 90015 is the number of sides 90013 90014 tan 90015 is the tangent function calculated in 90022 degrees 90023 (see Trigonometry Overview)
90003

90010 Inradius given the radius (circumradius) 90011
If you know the radius
(Distance from the center to a vertex):

90002
where 90013 90014 r 90015 is the radius (circumradius) 90013 90014 n 90015 is the number of sides 90013 90014 cos 90015 is the cosine function calculated in 90022 degrees 90023 (see Trigonometry Overview)
90003

90010 Irregular Polygons 90011
90042
Irregular polygons are not thought of as having an incircle or even a center.If you were to draw a polygon at random, it is
unlikely that there is a circle that has every side as a tangent.
An exception is a 3-sided polygon (triangle). All triangles always have an incircle.
(See Incircle of a Triangle)
90002 It can happen in reverse however. You can start with a circle and draw an irregular polygon around it as in the figure on the right.
This would be called a circumscribed polygon.
90003 90002 Some mathematicians consider the incircle to be the largest circle that will fit inside a polygon,
without the requirement that it touches all the sides.Clearly, under this definition, it is always possible to draw such a circle.
90003

90010 Other polygon topics 90011

90049 General 90050

90049 Types of polygon 90050

90049 Area of ​​various polygon types 90050

90049 Perimeter of various polygon types 90050

90049 Angles associated with polygons 90050

90049 Named polygons 90050

90002
(C) 2011 Copyright Math Open Reference.
90013 All rights reserved
90003

.90000 openlayers 3 — How to show one label per multi-polygon in open layers 3? 90001

Stack Overflow

90002
90003

Products

90004

90003
Customers
90004
90003
Use cases
90004
90009

90010
90003

Stack Overflow
Public questions and answers

90004
90003

Teams
Private questions and answers for your team

90004
90003

Enterprise
Private self-hosted questions and answers for your enterprise

90004
90003

Jobs
Programming and related technical career opportunities

90004
90003

Talent
Hire technical talent

90004
90003

Advertising
Reach developers worldwide

90004

90009

90024 Loading … 90025

90002
90003 90004

90003
Log in
Sign up

90004

90031
90004 90009.90000 r sf package centroid within polygon 90001

Stack Overflow

90002
90003

Products

90004

90003
Customers
90004
90003
Use cases
90004
90009

90010
90003

Stack Overflow
Public questions and answers

90004
90003

Teams
Private questions and answers for your team

90004
90003

Enterprise
Private self-hosted questions and answers for your enterprise

90004
90003

Jobs
Programming and related technical career opportunities

90004
90003

Talent
Hire technical talent

90004
90003

Advertising
Reach developers worldwide

90004

90009

.90000 algorithm — polygon union without holes 90001

Stack Overflow

90002
90003

Products

90004

90003
Customers
90004
90003
Use cases
90004
90009

90010
90003

Stack Overflow
Public questions and answers

90004
90003

Teams
Private questions and answers for your team

90004
90003

Enterprise
Private self-hosted questions and answers for your enterprise

90004
90003

Jobs
Programming and related technical career opportunities

90004
90003

Talent
Hire technical talent

90004
90003
90004 90009.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о